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\section{第四部分}
\subsection{例20（一个好玩的弹簧）}
\btitle{计算模型}
下面是一个好玩的弹簧，弹簧刚度是~$k=20(kN/m)$，有一个杆件位于A，B两点的
连线上。杆件位于~X~轴上。杆件B点受力~$F=4(kN)$，计算杆件的位移和轴力。
计算模型如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_1}
\figcaption{弹簧计算模型}
\label{p4_1}
\end{center}
根据胡克定律，杆件B点的位移是
\[ x = F/k = 4/20 = 0.2(m) \]
\midpar

\ctitle{建模及计算}
（1）建立新材料Q235，或者混凝土也行；（2）建立一个框架截面，截面随意，
过程略；（3）建立一条位于X轴上的网格线，过程略；（4）在网格线上画梁；
（5）在梁的左边节点设置“Spring”支座，参数填写为“Translation1 = 20”，
其它都填零。（6）梁的右端节点设置一个~$40kN$~的正向力。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_2.jpg}
\figcaption{SAP2000模型}
\label{p4_2}
\end{center}
（7）运行设置。点击菜单“Analyze，Set Analsys Options，”参数设置如下
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pic/in4/p4_3.jpg}
\figcaption{参数设置}
\label{p4_3}
\end{center}
然后生成模型，运行，查看结果。在表格里查看节点位移，点击菜单“Display，
Show Tables，ANALSYA RESULTS，Joint Output，Displacements，Table:Joint
Displacements，右键，Display Table，In SAP2000，”弹出表格如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pic/in4/p4_4.jpg}
\figcaption{节点位移}
\label{p4_4}
\end{center}
可以看到左端的节点位移都是~$0.2m$，与理论计算结果一样。右边节点的位移稍
微大一些，因为杆件本身在拉力作用下还会伸长的原因。


\subsection{例21（弹簧振子振动1）}
\btitle{计算模型及理论解}
计算模型是一个质量的~$m$~的质点连接在一个刚度为~$k$~的弹簧上，不考虑阻
尼作用。质点受外荷载~$p(t)$~的作用。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_5.jpg}
\figcaption{无阻尼弹簧振子在简谐荷载下的振动}
\label{p4_5}
\end{center}
质点的位移函数表示为~$x(t)$，那么这个质点任意时刻的平衡方程是
\[ m\ddot{x} + kx = p(t) \]
荷载是简谐荷载
\[ p(t) = F\sin(\theta t) \]
并有符号
\[ \omega = \sqrt{k/m} \]
所以方程写成
\[ \ddot{x} + \omega^2 x = \frac{F}{m}\sin(\theta t) \]
根据数学上的结果，它的通解是
\[ x(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + 
         \frac{F}{m(\omega^2 - \theta^2)}\sin(\theta t) 
\]
通解里面有两个任意常数，需要用初始条件来确定。下面考虑在初始时刻的两个
条件
\[ x(0) = 0 ,\quad \dot{x}(0) = 0 \]
就是初始时刻的位移为零，速度为零这两个条件。代入初始时刻位移为零条件得
结果
\[ \varphi = 0 \]
代入初始时刻速度为零条件得到结果
\[ A = -\frac{\theta F}{m\omega(\omega^2 - \theta^2)} \]
所以在给定初始条件下的方程的解为
\[ x(t) = \frac{F}{m(\omega^2 - \theta^2)}
          [-(\frac{\theta}{\omega})\sin(\omega t) + \sin(\theta t)] 
\]
这就是位移曲线。\midpar

\ctitle{一个实例}
下面弄一个实例，单位采用国际单位制~$kg,m,s$~等单位。弹簧振子的质量为
\[ m = 10(kg) \]
弹簧的刚度为
\[ k = 2000(N/m) \]
圆频率是
\[ \omega = \sqrt{2000/10} = 14.142(s^{-1}) \]
外力是
\[ p(t) = F\sin(\theta t) = 4000\sin(10t) \]
那么它的位移曲线是
\[ x(t) = -2.828\sin(14.142t) + 4\sin(10t) \]
可以用它计算出质点在任意时刻的位移。用~Excel~计算间隔为~$0.1s$~的数据。
时间范围从0秒到4秒。再把这些数据画成图形，如下
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_6.jpg}
\figcaption{质点的位移曲线}
\label{p4_6}
\end{center}
上面的图形在水平方向被拉长了10倍，也就是上面的图画的是~$x(t/10)$~这个曲
线的图像。因为曲线~$x(t)$~的图像实际上看起来挤到一块去了，拉长一些容易
看清楚。\midpar

\ctitle{SAP2000建模过程}
下面是建模过程。（1）新建工程，单位采用“kN,m,C”；（2）在原点处建立一
个节点，不管采用什么方法建立的都可以，再切换到~XZ~平面上；（3）选中原点
处的这个节点，点击菜单“Assign，Joint，Springs”弹出弹簧支撑对话框。只
输入~X~方向的弹簧刚度。上面的例子中，弹簧刚度是~$2000(N/m)$，转换到本例
中的单位，就是~$2(kN/m)$，所以只需要在参数“Translation1”中输入“2”即
可。输入完毕之后如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_7.jpg}
\figcaption{单质点模型}
\label{p4_7}
\end{center}
\midpar

（4）给质点输入质量。因为质点是一个没有体积的点，没有任何质量，所以需要
自己输入。选中该点，点击菜单“Assign，Joint，Masses”弹出对话框。参数选
择“As Mass”表示输入的是质量。坐标系选择“Global”。参数“GlobalX
Axis Direction”中输入“0.01”。因为本例中的质点质量为~$10(kg)$，在本例
的单位下，质量是以“吨”为单位的，所以输入值为“0.01”。\midpar

（5）设置荷载模式“Load Pattern”。点击菜单“Define，Load Patterns”弹
出对话框。增加一种荷载模式，其中参数为
\begin{verbatim}
    LoadPattern Name       : FP
    Type                   : OTHER
    SelfWeight Multiplier  : 0
\end{verbatim}
按上面的参数添加一种荷载模式，点击确定。\midpar

（6）定义时程函数。点击菜单“Define，Functions，Time History”弹出时程
函数定义对话框。参数“Choose Function Type to Add”中选择“Sine”，点击
添加。就是添加一个正弦函数。各参数按下图填写
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_8.jpg}
\figcaption{时程函数定义对话框}
\label{p4_8}
\end{center}
其中“Function Name”参数被命名为“SIN1”，正弦函数的周期是“0.6283”，
这个是计算得出。因为这个函数描述的是外加荷载~$4000\sin(10t)(N)$，它的周
期是
\[ T = \frac{2\pi}{10} = 0.6283(s) \]
所以按上面的计算结果输入。参数“Number of Steps per Cycle”表示每个周期
的正弦函数被分成多少份，份数越多结果越精确。这里输入的是“100”。参数
“Number of Cycles”表示产生几个周期的数据。参数“Amplitude”表示正弦函
数的振幅，这里输入“1”只表示正弦函数本身。\midpar

（7）输入荷载工况。点击菜单“Define，Load Cases”弹出对话框。添加下图所
示的一个荷载工况。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_9.jpg}
\figcaption{添加荷载工况}
\label{p4_9}
\end{center}
各参数按图中所示填写。荷载工况名是“ACASE1”，荷载工况类型为“Time
History”，表示随时间变化的函数。分析类型为“Linear”表示线性分析。积分
方法采用直接积分法。\midpar

（8）给节点输入外荷载。在“kN,m,C”单位制下，节点的外荷载是
\[ p(t) = 4\sin(10t)(kN) \]
到目前为止，这个力还没有施加在节点上。下面施加这个力。选中这个节点，点
击菜单“Assign，Joint Loads，Forces”弹出对话框，各参数按下图输入
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pic/in4/p4_10.jpg}
\figcaption{输入节点力}
\label{p4_10}
\end{center}
这样这个外力函数~$4\sin(10t)$~就完整的施加到节点上了。为什么呢？多看几
遍才会知道。\midpar

（9）设置分析选项及运行。点击菜单“Analyze，Analysis Options”弹出对话
框。只选中其中的“UX”选项。再生成计算模型。再运行工况。查看结果。
\midpar

\ctitle{查看SAP2000计算结果}
运行完毕后查看结果。点击菜单“Display，Show Plot Functions”弹出对话框。
点击里面的命令“Define Plot Functions”弹出对话框。添加一个“Plot
Functions”如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pic/in4/p4_11.jpg}
\figcaption{各参数}
\label{p4_11}
\end{center}
回到上一级对话框，各参数如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_12.jpg}
\figcaption{各参数}
\label{p4_12}
\end{center}
点击里面的“Display”命令，出现下面的结果
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_13.jpg}
\figcaption{弹簧振子的位移曲线}
\label{p4_13}
\end{center}
这个曲线就是要计算的结果。前面已经给出了精确解，并画出了它的图形。这个
结果是SAP2000的计算结果。可以看到，在2秒之内，它的计算结果和精确解符合
的很好。


\subsection{例22（弹簧振子振动2）}
\btitle{冲击荷载的理论解}
模型和实例21相同，只是外荷载是一个瞬时冲量~$I$，它给质点一个初速度。质
点的运动是简谐振动。它的通解是
\[ x(t) = A\sin(\omega t + \varphi) \]
其中
\[ \omega = \sqrt{k/m} \]
其它两个都是任意常数。质点受到瞬时冲量之后，它的初速度是
\[ v_0 = \frac{I}{m} \]
现在使用两个初始条件来确定两个任意常数，一个是初始位移为零，一个是初始
速度条件。代入初始位移条件得到
\[ \varphi = 0 \]
代入初始速度条件得到
\[ A = \frac{I}{m\omega} \]
所以它的位移方程为
\[ x(t) = \frac{I}{m\omega}\sin(\omega t) \]
\midpar

\ctitle{一个实例}
下面是一个实例，其中几个参数是
\[ k = 2000(N/m),\quad m = 10(kg),\quad I = 200(N.s) \]
所以
\[ \omega = \sqrt{2000/10} = 14.142(s^{-1}) \]
质点的运动方程是
\[ x(t) = 1.414\sin(14.142t) \]
用~Excel~计算2秒之内的相关数据，时间间隔为0.05秒。用~AutoCAD~画出样条曲
线，如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in4/p4_14.jpg}
\figcaption{位移曲线}
\label{p4_14}
\end{center}
\midpar

\ctitle{SAP2000的计算}
待续。


\subsection{例23（空间桁架）}
\btitle{模型}
这个空间桁架的例子是从结构力学的书上来的。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pic2/p2_1}
\end{center}
这个例子中，底部四个支座都是限制了杆件在~$X,Y,Z$~三个方向的平动，但不
限制杆件的转动和扭动。\midpar

\ctitle{建模与计算}
建模过程略。其中重要的部分如下。（一）将材料的密度改为零。这样可以不考
虑构件的自重。便于核对书上的结果。（二）四个支座都是铰接的。设置支座约
束。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pic2/p2_2}
\end{center}
\midpar

（三）杆件之间都是铰接，杆件的弯矩和扭矩都为零。因为弯矩为零，所以杆件
上也没有剪力，实际上只有轴向拉力或者压力。所以释放部分内力。选中所有的
杆件，点击菜单“指定，框架，释放/部分固定”弹出“指定框架释放”对话框。
如下所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pic2/p2_3}
\end{center}
其中扭矩部分只能选中一个节点释放，不能两个节点都释放。\midpar

（四）其它添加荷载，计算过程略。部分杆件的内力为
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_4}
\end{center}
\midpar

\ctitle{SAP2000的计算结果}
如下所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{pic2/p2_5}
\end{center}
这个结果和书上的结果是完全一样的。


\subsection{例24（平面桁架）}
\btitle{计算模型}
如下图所示。左边支座不能平动，但能转动。右边支座可以左右平动，转动，但
不能上下平动。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_6}
\end{center}
\midpar

\ctitle{部分建模过程}
（一）左边支座的设置。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{pic2/p2_7}
\end{center}
实际上还可以把“绕3轴转动选上”。\midpar

（二）右边支座的设置。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{pic2/p2_8}
\end{center}
这表示绕Z轴的平动被限制住了。其它的自由度都没有限制。
\midpar

（三）其它的内力释放见前面的例子，过程略。施加荷载略。不计杆件自重。
（四）设置分析选项。这是个平面桁架，并且是在XZ平面上的桁架。所以它只能
在XZ平面上平动。所以有效自由度UX,UZ被选上。至于转动，也只能在XZ平面内，
这个转动是绕Y轴的转动。所以把RY选上。其它都不选。这是手工设置。程序还
提供了快速选择的方法。点击“平面框架”就可以了。结果和上面手工设置一样。
然后就可以计算了。\midpar

\ctitle{计算结果}
如下图所示。与书上结果一致。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{pic2/p2_9}
\end{center}


\subsection{例25（一个不知对错的单向板）}
\btitle{模型}
这个模型用来模拟一个矩形的单向板。板跨度为~$2(m)$，两个支撑边为铰接。
板受均布荷载~$1(kN/m^2)$，计算这个单向板。\midpar

\ctitle{建模及计算}
(1)采用~$kN,m,C$~单位系统来建模。采用“轴网”这个模板。这里是单向板，
只有一跨，跨度~$2m$，所以各参数如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_10.jpg}
\end{center}
确定后出现一个轴网，如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_11.jpg}
\end{center}
\midpar

(2)定义板的材料。点击菜单“定义，材料，快速添加材料”弹出对话框。材料
类型选择“Steel”，规范“Chinese Q235”，确定。然后修改材料。这一步不
是必要的，只是为了不考虑材料自重的影响。把材料的“重量密度”修改为零。
其它都不修改。\midpar

(3)定义“面截面”。点击菜单“定义，截面属性，面截面”弹出对话框。截面
类型选择“Shell”，点击下面的“修改/显示截面”弹出对话框。如下图修改。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_12.jpg}
\end{center}
\midpar

(4)在轴网上画平面。点击画图按钮来画矩形板。画好之后，点击这个矩形，如
下图所示。矩形内有一圈虚线，表示这是一个面对象。可以鼠标右键查看它的各
种信息。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_13.jpg}
\end{center}
\midpar

(5)分割面。用鼠标选择刚才画的面，点击菜单“编辑，编辑面，分割面”弹出
对话框。按下图所示参数填写
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_14.jpg}
\end{center}
点击确定之后，面就被分割成下面的样子
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_15.jpg}
\end{center}
\midpar

(8)指定节点约束。选择板左右两侧边界上的节点，点击菜单“指定，节点，约
束”弹出对话框，约束如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_16.jpg}
\end{center}
\midpar

(9)添加面荷载。选中所有的板，点击菜单“指定，面荷载，均匀壳”弹出对话
框，其中“荷载”的参数填写~$1$，表示~$1(kN)$~的面荷载。\midpar

(10)计算。\midpar

\ctitle{计算结果}
弯矩图如下所示。下面的图是内力图，MMax的图。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_17.jpg}
\end{center}
根据这个例子的条件，最大弯矩在跨中，每米板宽的弯矩是
\[ M = \frac{qL^2}{8} = \frac{1\times 2^2}{8} = 0.5(kN.m) \]
SAP2000的计算结果是0.4944(kN.m)。其它内力图可以类似查看。\midpar

位移的图如下所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_18.jpg}
\end{center}
这个看起来是对的。单向板的位移就是这样子的。\midpar

评价：这是个不知道对错的例子。但也许大约是对的。这个弯矩图按理想的状态，
所有的线应该是平行的。因为这是个单向板。它实际上是弯曲的，这也许是边界
造成的。这个例子把这个板分割成了100块小板。然后给左右两边的节点施加约
束，模拟简支的条件。每个小板都有详细的计算结果。这说明这个板即使不分割
也可以计算。因为它们是相似的。如果SAP2000可以计算每一个小板的话，那么
它就应该能计算相似的大板。从计算的角度说，前面的分割也许是多余的。但是
区别在于整块的矩形板只有四个节点，分割后的100块板就很多个节点。从边界
条件的模拟来说，分割后的板更加符合实际情况。


\subsection{例26（虚面导荷）}
\btitle{建模及计算}
(1)随便建立一个框架，框架的高度是~$2m$，两个方向的跨度都是~$3m$，框架
的梁、柱都给个截面。柱脚都指定为固定约束。切换到平面上画面，截面属性选
择为“None”，这是个关键。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_19.jpg}
\end{center}
\midpar

(2)选择这个面，点击菜单“指定，面荷载，均匀导荷到框架”弹出对话框，在
里面填入参数。双向导荷。如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_20.jpg}
\end{center}
然后分析计算。
\midpar

\ctitle{结果}
经计算，结果如下所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic2/p2_21.jpg}
\end{center}
\midpar

\ctitle{结果分析}
按照设想，这个框架是个双向对称的结构。四根梁也一样，那么梁的内力应该都
一样。但是这个结果实际上是两个方向的梁不一样。这个原因可能是柱子造成的。
这个例子中，梁柱都是某个截面槽钢。而槽钢在两个主轴上的惯性矩是不同的。
可能是这个原因导致两个方向上梁的弯矩不同。\midpar

为了证明上面的猜测，把四根柱子换成同样型号的钢管，重新计算了一遍。四根
梁的受力就完全相同了。呵呵。

